Uji Mann Whitney (U TEST)

Uji Mann Whitney  (U TEST)

Uji  Mann Whitney merupakan pengujian untuk mengetahui apakah ada perbedaan nyata antara rata-rata dua polulasi yang distribusinya sama, melalui dua sampel yang independen yang diambil dari kedua populasi.

Data untuk uji  Mann Whitney dikumpulkan dari dua sampel yang independen.

Fungsi :

ž  Menguji signifikansi hipotesis komparatif dua sampel independen dengan data berbentuk “ordinal”.

ž  Merupakan alternatif lain bila uji “ t ” parametric tidak dapat dilakukan.

ž  Populasi bisa bersumber dari dua populasi yg berbeda atau satu populasi tetapi ada dua kondisi yg berbeda.

ž  Bila datanya berbentuk interval maka harus dirubah lebih dahulu menjadi ordinal. 

Asumsi Hipotesis :

¨  Hipotesis alternatif

            distribusi data didalam populasi A > B, atau sebaliknya

¨  Hipotesis nol

            distribusi data didalam populasi A =  distribusi data didalam populasi B

           

Penerimaan hipotesis

¨  Hipotesis alternatif diterima bila probability nilai populasi A > dari populasi  B yakni : > ½  atau  p (A > B) > ½.  Atau sebaliknya  p(A< B) < ½.

Rumus umum

Dikenal 2 macam :

                                             n₁ (n₁ + 1)

             U₁ = n₁ n₂    ---------------------  -  R₁

                                                       2

                                               n₂ (n₂ + 1)

             U₂ = n₁ n₂     --------------------  - R₂

                                                        2

Keterangan :

n₁ = jumlah sampel 1

n₂ = jumlah sampel 2

U₁ = jumlah peringkat 1

U₂ = jumlah peringkat 2

R₁ = jumlah rangking pd sampel n₁

R₂ = jumlah rangking pd sampel n₂

Pemberian ranking atau peringkat dilakukan dengan alternatif berikut :

      Terlebih dahulu menggabung kedua kelompok data kemudian memberikan peringkatnya sebagai berikut :

      Pemberian rangking dimulai dari urutan terkecil ke yg terbesar

      Pemberian rangking juga memperhatikan tanda aljabarnya yakni, memberikan rangking terendah pada bilangan negatif terendah bila ada.

      Bila terdapat nilai yg sama maka rangkingnya ialah diambil rata-ratanya untuk masing-masing nilai.

Uji Mann-Whitney dengan Sampel Kecil

Tabel 1. menunjukkan gaji yang diterima oleh 5 orang sarjana ekonomi dan 4 orang insinyur setelah 3 tahun bekerja yang diperoleh sari sampel secara random

Tabel 1 Data Untuk Uji Mann-Whitney

SE	Gaji	Urutan	Ir	Gaji	Urutan
A	710	1	O	850	5
B	820	3,5	P	820	3,5
C	770	2	Q	940	8
D	920	7	R	970	9
E	880	6	R2 = 25,5
R1=19,5

Penyelesaian:

1)      Hipotsis nol adalah bahwa setelah tiga tahun bekerja, gaji sarjana ekonomi  tidak lebih rendah dibanding insinyur .

Hipotesis alternatif adalah gaji sarjana ekonomi lebih rendah dibanding gaji insinyur.

2)      Menetapkan tingkat signifikan (). Misalkan = 5 %. Sementara n1 = 5 dan n2 = 4, maka nilai kritisnya U=2

Tabel Probabilitas Kritis untuk Statistik U

Pada Uji Mann-Whitney

          n2 = 4

n1 

U        1         2        3        4

 0    0,200  0,067  0,028  0,014

 1    0,400  0,133  0,057  0,029

2    0,600  0,267  0,114  0,057

3    0,400  0,200  0,100

4    0,600  0,314  0,171

 5   0,429  0,243

6    0,571  0,343

7    0,443

8   0,557 

3)      Menentukan nilai test statistik mealui tahap-tahap berikut.

a.       Mengurutkan data tanpa memperhatikan sampelnya; gaji yang kecil diberi angka 1 dan yang lebih besar diberi angka 2 dan seterusnya; jika terdapat data yang sama maka digunakan angka rata-rata, seperti gaji 820 diberi angka (3+4)/2 = 3,5.

b.      Menjumlahkan urutan masing-masing sampel;

Misalkan R1: jumlah urutan sampel n1

Dan R2: jumlah urutan sampel n2

Maka R1 = 19,5 dan R2 = 25,5.

c.       Menghitung statistik U melalui dua rumus

Pertama U = = 15,5

Kedua U =

Nilai U yang dipilih untuk menguji hipotesis nol adalah nilai U yang lebih kecil yaitu 4,5.

Untuk memeriksa apakah perhitungan kedua nilai U benar, dapat digunakan dengan rumus berikut:

U terkecil = n1n2 - Uterbesar

4,5 = 20 – 15,5

Jadi benar

4)      Membuat keputusan secara statistik. Aturannya adalah :

“Tolak Ho jika test statistik U  nilai kritis.”

Karena nilai test statistik lebih besar dari nilai kritis maka Ho tak ditolak berarti gaji sarjana ekonomi tidak lebih rendah dibanding sarjana insinyur.

Uji Mann-whitney Dengan Sampel Besar

Jika ukuran sampel yang lebih besar di antara kedua sampel yang independent, lebih besar dari 20, maka distribusi sampling U menurut Mann & Whitney (1974), akan mendekati distribusi normal dengan rata-rata dan standar error:

    dan

Sehingga variabel normal standarnya dirumuskan

Dalam menghitung rata-rata, standar error dan variabel normal standar, dapat digunakan U yang manapun.

Contoh:

Kita ingin menentukan apakah volume penjualan tahunan yang dicapai salesman yang tidak berpendidikan akademis berbeda dengan volume penjualan yang dicapai oleh salesman yang berpendidikan akademis. Diambil sampel random 10 salesman yang tidak berpendidikan akademis (n1=10), dan diambil sampel random lain yang independent 21 salesman yang berpendidikn akademis (n2=21). Dua grup tersebut dipisahkan sebagai grup A dan grup B. Volume penjualan dan jenjangnya ditunjukkan sebagai berikut:

Tabel 2

Volume penjualan tahunan dari salesman yang tidak berpendidikan akademis (A) dan yang berpendidikan akademis (B) beserta jenjangnya.

Salesman A	Volume Penjualan Tahunan (dalam ribuan Rp)	urutan	Salesman B	Volume Penjualan Tahunan (dalam ribuan Rp)	urutan
1	82	24	1	92	31
2	75	19	2	90	29,5
3	70	15	3	90	29,5
4	65	11	4	89	28
5	60	8	5	86	27
6	58	7	6	85	26
7	50	4,5	7	83	25
8	50	4,5	8	81	22,5
9	46	3	9	81	22,5
10	42	2	10	78	21
			11	76	20
			12	73	18
			13	72	17
			14	71	16

Salesman A	Volume Penjualan Tahunan (dalam ribuan Rp)	Jenjang	Salesman B	Volume Penjualan Tahunan (dalam ribuan Rp)	Jenjang
			15	68	14
			16	67	13
			17	66	12
			18	64	10
			19	63	9
			20	52	6
			21	41	1
		R1=98			R2=398

Penyelesaian:

a.       Hipotsis nol adalah bahwa volume penjualan tahunan salesman yang tidak berpendidikan akademis sama dengan volume penjualan tahunan salesman yang berpendidikan akademis.

Hipotesis alternatif adalah volume penjualan tahunan salesman yang tidak berpendidikan akademis tidak sama dengan volume penjualan tahunan salesman yang berpendidikan akademis.

b.      Bila digunakan  = 0,01, nilai Z =  2,58.

c.       Ho ditolak jika Z hitung > Z tabel

d.      Uji statistic

U = = 10(21)+

U =

Maka Nilai U yang digunakan :

U = = 10 (21) – 167 =43

Dalam contoh tersebut n₂ > 20 maka digunakan pendekatan kurva normal

=

 =

Z =  =

e.       Z hitung < Z Tabel

Dengan demikian Ho ditolak dan

disimpulkan bahwa volume penjualan tahunan salesman yang tidak berpendidikan akademis tidak sama dengan volume penjualan tahunan salesman yang berpendidikan akademis.